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| ミランコヴィッチメニューへ戻る 気候の持続性に対する氷河の応答 Published online by Cambridge University Press: 04 May 2016 GERARD H. ROE and MARCIA B. BAKER 抄録 過去の氷河の長さの変動を気候の変化に帰属させるためには、氷河のマスバランスの変動を特徴づける必要があります。観測記録は比較的短いが、時間的には相関のないランダムな変動と人為的な傾向が一致している。しかし、他の気候変数のより長い記録は、実際には、内部的な（すなわち、強制的ではない）気候変動に関連したある程度の時間的持続性があり、それが場所や気候によって変化することを示唆しています。したがって、質量収支には持続性が存在する可能性があるが、記録が短すぎて、従来の統計的検定ではその存在を確認したり、その大きさを確認したりすることができない。本研究では、これまでの研究を発展させて、潜在的な気候の持続性が氷河長の変動に与える影響を調べました。我々は、数値モデルと新たに開発した解析モデルを用いて、最も長いマスバランス記録では検出できない程度の小さな持続性であっても、結果として生じる氷河長の変動を大幅に増大させることを明らかにした。このことは、氷河の流出確率に大きな影響を与えます。非常に低い確率（1％未満）だったものが、持続性を考慮すると、事実上確実（99％以上）になります。どのような氷河にも当てはまる気候の持続性の程度は明確にするのが難しいため、これらの結果は過去の氷河の変化の帰属を複雑にしています。 1. 序論 地球の気候の歴史を「内部変動」と「強制変化」に分けることは、気候ダイナミクスを理解する上で非常に重要です。定義の線引きが曖昧になっていますが、内部変動とは、気候システムの外部からの強制力が変化していない状態で発生する変動のことです。外部からの強制力とは、一般的に大気組成、日射量、大陸の形状の変化、火山の噴火などと考えられています。内部気候変動は、将来の気候の予測可能性に 対して不可逆的な下限を設定するものである：我々が将来に向かって乗り 込む特定の気候軌道は、外部強制力の変化と内部変動の両方 に依存する。 計器記録を超える時間スケールでは、内部気候変動と気候変動の両方の歴史を再構築するために、古気候のプロキシに頼らなければならない。 ここ数十年で最も重要な古気候研究は、過去一世紀の全球平均気温の変化の大きさが、全新世後期の変動幅を超えていることを実証したことである（例：Mann and others, 1998）。これは、気候変動の「ノイズ」の上に人為的な気候変動の「シグナル」があることを正式に特定するための重要な貢献であった。しかし、気候変動と気候変動の両方が同じ古気候の記録に包まれているという事実は、それらの解釈を複雑にする可能性がある。気候変動と気候変動の区別を明確にしておくことは非常に重要です。なぜならば、前者は強制要因を特定して定量化することに挑戦しているのに対し、後者はシステムの通常通りの動作を表しており、それ以上の説明を必要としないからです。 氷河の谷は古気候情報の重要な貯蔵庫である。 多くの場所では、氷河の歴史の再構築は、他の代理記録が評価される基準となる地域気候史の主要な物語を提供しています。過去15年の間に、気候変動に対する氷河の応答を特徴づけるための一連の研究が行われてきた(Oerlemans, 2000, 2001; Reichert and others, 2002; Huybers and Roe, 2009; Roe and O'Neal 2009; Roe, 2011; Roe and Baker, 2014; Anderson and others, 2014; Rowan and others, 2014)。ここでは、関連する気候変数は質量収支である。 デトレンディングの後、氷河質量収支の観測は、一般に、正規分布したホワイトノイズの時系列と区別できない（例えば、Burke and Roe, 2014; Medwedeff and Roe, 2016）。白色ノイズ時系列は、スペクトルのすべての周波数で一様なパワーを持ち、時系列の持続性はゼロである（すなわち、異なる時間帯の変動は無相関である；Box and others, 2008）。氷河はローパスの気候フィルターとして機能するため、氷河は赤みを帯びた応答（低周波でのパワーが大きい）を生成し、気候自体が持続性を持たない場合でも、長く持続的な変動を受けることになります。 上述の研究では、ホワイトノイズマスバランス強制に対する氷河の応答をモデル化し、氷河の形状、気候設定、モデルの詳細に応じて、長さの標準偏差(≡σ L)が数百メートルから1キロまで変化することを発見しました。氷河の応答時間は一般的に数十年に及ぶ（Leclercq and Oerlemans, 2012など）。標準偏差の定義によれば、氷河はその時間のうち±2σLの外側で過ごすことになる（すなわち、最大値と最小値が少なくとも4σL離れている）。したがって、これらの研究は、氷河の長さの100年単位、キロメートル単位の変動が、持続性を持たない気候に対応して起こることを立証している。 このことは、過去の氷河長の変動が実際に気候変動を示しているかどうかを判断するために、過去の氷河長の変動を統計的に評価すべきであるという帰無仮説を設定することになります。 本研究では、Reichertら（2002年）が開拓した研究の流れを踏襲している。氷河のマスバランス観測は一般的にホワイトノイズと一致しているが、他のデータによると、これはマスバランス記録の期間が限られているためではないかと指摘されている。他のいくつかの気象分野（気温や降水量など）の長い観測記録、代理古気候の記録、理論的・数値的な気候モデルのすべてが、内部の気候変動にある程度の持続性があることを示唆している。 本研究では、数値流線モデルと新たに開発した解析的な氷河モデルを用いて、長い観測記録では検出が困難なほど小さな持続性を加えても、持続性のない気候と比較して、氷河長の変動が大幅に増加することを示しました。このことは、氷河の長さの変動を、持続性のない気候に比べて大幅に増大させることになります。氷河の持続性の程度は、氷河の長さの変動に大きな影響を与えます。 2. 2.気候的耐久性の2つのモデル ここでは、一般的に用いられている気候持続性の統計モデルを2つ考えてみる。一つは一次自己回帰過程(≡ AR(1); e.g. Box and others, 2008)である。b t を t 年の年平均質量収支とすると、AR(1)過程は次のように書くことができる。 (1) ここでΔt = 1a、rとa 0は定数であり、μtは正規分布の確率過程から引き出された乱数である。  したがって、b tは部分的には前年の値に依存し（したがって持続性を持つ）、部分的には現在の年に発生したランダムな確率的インパルスに依存します。この持続性モデルは、Klaus Hasselmannらの一連の論文（例えば、Hasselmann, 1976; Frankignoul and Hasselmann, 1977）で気候科学に導入され、海面水温の持続性は、海洋混合層が、大気-海洋熱流束の急激で本質的にランダムな、相関のない変動を統合するように作用した結果であることを実証した。 また、高次の自己回帰過程であるAR(p)を考えることもできる(Box and others, 2008など)。Reichertら(2002)は、例えばノルウェーのNigardsbreen氷河の気候モデルの出力にAR(3)過程を適合させた。彼らがフィットしたAR(3)係数は, 1.5 aの持続時間スケールと, 3 aの周期と1 aの位相記憶を持つ減衰した振動を示唆している. 高次のAR(p)過程を物理的に解釈し、標準的な方法(例えば Box and others, 2008)を用いて高次モデルの統計的必要性を立証することが重要である。ここでは AR(1) のみを考えます。 AR(1)過程について, 周波数とラグ-1 a 自己相関(≡P b(f, r))の関数としてのパワースペクトル密度は, 次式で与えられます.  (1)ここで P 0 は定数であり、付録で定義されています。P b(f, r) は低い周波数に向かって増加し、可視光のスペクトルと類推して、しばしば赤色ノイズと呼ばれる。 自己相関関数(ACF)は、時系列における持続性の構造の形式的な統計的記述であり(例：Box and others, 2008)、データ間の時間差の関数としてデータ間の類似性を特徴づけます。nΔt は n 年のラグを表すとする。ACFはρ(nΔt) = 〈b t b t-nΔt 〉で定義される。Wiener-Kinchinの定理から、ACFはパワースペクトルのフーリエ変換である。  (2)AR(1)プロセスの場合、ACFは次のようになります。  (3)したがって、ρはe-フォールディングの時間スケールτ cでゼロに向かって指数関数的に漸近します。 第二の持続性モデルは、時系列のスペクトルを力価則として特徴づけるものである。この形式は、気温に関する長い観測機器記録や古気候の代理記録のいくつかの分析(例えば、Pelletier, 1997, 1998; Fraedrich and Blender, 2003; Fraedrich and others, 2004; Huybers and Curry, 2006)や、降水量や他の水文学的変数(Hurst, 1951; Ault and others, 2013)によって提案されている。νを対数軸にプロットしたときのパワースペクトルの傾きとする。  (4)これは一見威圧的に見えるが, 重要な点は, 大きなラグでは, (nΔt)ν-1としてゼロに向かって減衰することである (例えば, Percival and others, 2001; Box and others, 2008) 。このため, AR(1)過程(式 3)よりもずっとゆっくりと減衰し, 長い時間スケールでの持続性を示す. このため、式(4)は「長い記憶」過程と呼ばれている。  (5)この挙動を図2に示す。 Huybers and Curry (2006)は、100年間の気温観測のためのνの空間マップを提示し、陸地では0から0.5の間の値を見つけ、最も高い値は海洋性気候設定に限定されている。海洋、特に熱帯地域では1を超える値を示すことがある。Ault and others (2013)は北米西部の降水量のスペクトルに式(4)を当てはめ、 νが~-0.2から+0.5の範囲でパッチワークパターンとなっているが、 統計的には有意ではないことを発見した。 古気候のプロキシ時系列から評価された持続性は、古気候のプロキシの多くが気候の積分器として作用し、年代の不確実性や沈着後の過程と相まって、駆動する気候とは無関係にプロキシ時系列が赤くなる可能性があるため、多少の注意を払う必要があります。 しかし、そのようなデータセットは、内部変動が力行スペクトルとして特徴付けられることを示している(Pelletier, 1997, 1998; Fraedrich and Blender, 2003; Fraedrich and others, 2004; Huybers and Curry, 2006)。深海での準拡散的な熱取込みでは、低周波域では海洋の関与が徐々に増加し、気候系の実効慣性が増大する(Hoffert and others, 1980; Pelletier, 1997; Fraedrich and others, 2004)が、包括的な気候モデルでも診断されている(例えば、Zhu and others, 2010; MacMynowski and others, 2011)。これは、多くの異なるタイムスケールを持つ AR(1)過程の集合に相当する(Beran, 1994; Percival and others, 2001; Box and others, 2008)。 2.1. 2.1.1. 氷河マスバランス 記録における観測された変動性と持続性 我々はまず、利用可能な最も長い年平均マスバランス観測のうち3つの観測について、その変動性と持続性を評価する。我々の目的は、Medwedeff and Roe (2016)で行われている氷河質量平 衡記録の包括的な評価を提示することではないが、ここに示された結果は典型的なものである。最も長い連続マスバランス記録はスイスのクラリデン氷河（1914年以降）ですが、測定は2つの雪杭でしか行われていないため、必ずしも氷河全体を代表するものではありません。 図 1a は、これらの記録を人為的な傾向を除去するために線形にデトレンディングした後のものである。各氷河の質量バランスの標準偏差(≡σ b)と95%の範囲は以下の通りである。クラリデン、0.74 {0.65, 0.86} m a-1; ストーブリーン、0.69 {0.58, 0.83} m a-1; サウスカスケード、1.04 {0.87, 1.3} m a-1であり、信頼度境界は、n年分のサンプル分散が自由度n - 1のχ2分布に従うと仮定して計算されている（例：VonStorch and Zwiers, 1999）。3つのデータセットはすべて、Jarque-Bera検定に基づく95%以上の信頼度で正規分布と一致しています（例：Steinskog and others, 2007）。  図1. 観測された年平均氷河質量バランスの３つの長期記録。スイス、クラリデン（上の杭）（95 a, σ b = 0.74 m a-1）、ノルウェー、ストーブリーン（63 a, σ b = 0.69 m a-1）、米国、サウスカスケード（54 a, σ b = 1.04 m a-1）。(a) 線形傾向と平均を除去したオブザベーションの時系列。(b) 自己相関関数。横の破線は，n が各記録の長さを年単位で表し，これらの線は，95%以上の信頼度で白色ノイズの帰無仮説を棄却するためにラグ1 a 自己相関が存在すべきレベルを示す(Bartlett, 1946; Box and others, 2008)．(c) 質量分散データのパワースペクトル（巻き戻しを解除したピリオドグラム）。破線はベストフィットの傾きを示す（最小二乗線形回帰に基づく）。すべての傾きは正であるが、信頼度95%以上でゼロと有意な差はない。 もちろん、ほとんどのマスバランス記録は、我々が選択した記録ほど長くはなく、短い記録では、σ b の不確かさ推定値が非常に大きいことを強調することが重要です。例えば、20 a の質量分散レコードの場合、95% 境界はデータ標本の標準偏差の{0.76, 1.46}倍になります。言い換えれば、多くのレコードでは、σbに約2倍の不確かさがあります(Medwedeff and Roe, 2016)。 図1bは、3つのレコードのACFを示しています。 持続性がないという帰無仮説は、ラグの1年自己相関が(Bartlett, 1946; Box and others, 2008)を超えた場合にのみ、95%の信頼度で棄却できる。図1から明らかなように、この検定に基づいて、3つの記録はすべて、変動が相関していない（すなわち、ホワイトノイズである）という帰無仮説から区別できないと結論づけられます。これは、AR(p)モデルの選択と適合のための標準的なアルゴリズム（Box and others, 2008など）を用いて確認されており、AR(0)が3つの記録すべてについて最良の記述であることが確認されています。 Burke and Roe (2014)は、AR(p)モデルをヨーロッパの長い観測記録と氷河のマスバランス記録に適用したが、持続性は確定的には確立できないと結論付けた。 別の方法として、記録のパワースペクトルの傾きがゼロでないかどうかを評価する方法があります。図1cは、最小二乗線形回帰に基づく3つの記録（巻き戻しを行っていないピリオドグラム）のパワースペクトルを、ベストフィットした傾きとともに示したものである。スロープ（ν）の結果は以下の通りです。Clariden, 0.25 ± 0.32 (2σ); Storbreen, 0.23 ± 0.61 (2σ); South Cascade, 0.09 ± 0.64 (2σ)。 すべての記録について、傾きは正であるが、2σの範囲はすべてゼロをまたいでいるので、ν=0と統計的に異なるものはない（クラリデンはp値0.12で近い）。したがって、この尺度でも、オブザベーションが白色ノイズと区別できないと結論づけられます。 Medwedeff and Roe (2016)は、World Glacier Monitoring Service (WGMS, 2013 and earlier issues)から入手可能な全球の質量バランスデータセットを評価し、これらの結果がより広く適用されることを発見しました： 観測された年平均と季節平均の質量バランスの記録は、ホワイトノイズと一致しています（線形傾向も加えて）。 したがって、古気候のプロキシや長い観測記録はいずれも気候の時系列に持続性があることを示唆しているが、氷河の質量バランスの記録は短すぎて、そのような持続性を統計的に検出することはできないし、そのタイプ（例えば、AR(1)や力価則）や程度を正確に決定することもできない（例えば、Percival and others, 2001）。 また、質量収支の持続性は、他の気候変数から容易に推論することはできない。持続性は変数によって異なる。氷河の質量バランスは、多くの変数の複雑な集合体を反映しており、また、雪崩や漂流のような他の確率的なプロセスにも部分的に依存している。それにもかかわらず、Reichertら(2002)が予備的に検討してきたように、気候の持続性は氷河長の変動を大幅に増加させる可能性がある。この論文では、もしも氷河の質量バランスの中に、検出しにくい程度の気候的持続性が存在していたとしたらどうなるだろうか？このような気候的な持続性が氷河長変動に与える影響はどのようなものでしょうか？過去の氷河記録の解釈への影響については、第4節で述べています。 2.2. 永続性を持つ合成気候時系列 検出されない可能性のあるマスバランスの持続性が氷河長記録の解釈に与える影響を調べるために、まず、持続性の程度の異なる合成マスバランス記録を作成します。次に、これらの合成マスバランス履歴に対する理論的な氷河の反応と、マスバランスの変動がホワイトノイズであるという誤った仮定の下で予測される反応を比較します。 Percival and others (2001)によって概説された方法を用いて、5つの10kaの合成マスバランス時系列を作成した。 与えられたrまたはνの選択に対して、スペクトル振幅のフーリエ変換（式(2)または(4)の平方根）から時系列を生成し、各周波数でランダムな位相を乗算します。比較を容易にするために、各時系列に同じランダム位相のセットを使用しています。 制御マスバランス時系列は、標準偏差σ b = 1 m a-1の白色ノイズです。パワー則の持続性のために、我々はνの値を0.25と0.4としました。このようなパワーロー持続の1年遅れの自己相関係数は0.17と0.28であり(Eqn 5)、これらはAR(1)型の持続性のために我々がrに使用する2つの値である。 これらのr値に関連するメモリτ cはそれぞれ1.2と1.4aです。95%信頼区間(Bartlett, 1946)に基づいて、与えられたrの場合、永続性を検出するのにn ~ (2/r)2年かかります。したがって、我々が選択したνが0.25と0.4の場合、持続性が確立されるまでには、それぞれ~150と50aのデータが必要となります。このような持続時間は、観測されている観測機器や氷河の質量バランスの記録の中で最も長いものに匹敵します。言い換えれば、我々は現実的な状況を再現しています：観測では検出しにくい大きさの持続性を導入しています。 永続性を含めることは、時系列の分散を高めることになります。しかし、もし永続性の存在が検出されなかった場合、測定された標準偏差は、白色ノイズ過程の標準偏差とみなされます。氷河の長さの変動を予測するために使用されるホワイトノイズのパラメータは、この標準偏差に基づいています。そこで、我々は、標準偏差が制御系列（σb = 1 m a-1）と等しくなるように、各時系列を正規化する補正を適用します。これは、氷河モデルを駆動するために使用する分散が、観測から決定されるものと一致していることを保証します-異なるのは、各時系列に存在する持続性だけです。この補正は、結果として生じる氷河の分散を減らすという意味で保守的なものです。 補正なしでは、持続性を追加すると、質量収支（と氷河応答）の標準偏差は、r = 0.17、0.28、ν = 0.25、0.4に対して、それぞれ1.5、4.2、15、29%増加することになります。 図2aは、これらの合成気候時系列の各100aセグメントを示している。これらの時系列は目視ではほとんど区別がつかないが、ACF(図2b)を見るとその違いがよくわかる。AR(1)過程は指数関数的にゼロに漸近する(式3)のに対し、力法則過程のACFはよりゆっくりと低下する(式5)ので、連続した年が同じ符号の異常値を持つ可能性が小さいが持続的にある気候を表している(すなわち、長い記憶がある)。スペクトルは図2cに示されており、合成時系列が理論的なパワースペクトルと正確に一致していることを示している。  図2. 異なった程度の持続性を持つ合成マスバランス記録。(a)氷河モデルの駆動に使用された10 kaのリアリゼーションからの100 aのタイムスライス。ホワイトノイズ、ν = 0.25, 0.40、r = 0.17, 0.28の時系列を示し、σ b = 1.0 m a-1になるように正規化されています。分かりやすいように、時系列はy軸上で2000mmずつ連続してオフセットされている。(b) 5つの時系列の自己相関関数。(c) 5つの時系列のパワースペクトル(窓付きピリオドグラム) (太い曲線)と各過程の理論スペクトル(細い曲線、式(2)と(4)参照)。最も低い周波数での不一致は, ウィンドウ処理によるものである. 3. 3.気候的な持続性が氷河長に及ぼす影響 第3節では、これらの合成マスバランス時系列を用いて、2つの異なる氷河モデルを駆動する。また、気候の持続性が氷河の長さに与える影響を代数的に表す式を導出する。 3. 気候の持続性が氷河長に与える影響 最初に使用した氷河モデルは、Roe and O'Neal (2009)の数値流線モデルで、浅い氷のダイナミクスと基底すべりを考慮したものである。このモデルはRoe and Baker (2014)と同じパラメータを使用しており、米国ワシントン州のベーカー山周辺の小規模なアルプス氷河に特徴的なモデルである。式や詳細は Roe and Baker (2014)を参照されたい。 2つ目のモデルは、Roe and Baker (2014)の3段階モデルで、所定の平均状態を中心とした長さ変動の線形モデルで、幅広いパラメータの選択の下で数値モデルの挙動を忠実に再現することが示されています。比較的シンプルな形式であるため、非常に汎用性の高いツールとなっています。このモデルは、氷河のパワースペクトル、ACF、気候変動に対応した分散とエクスカーション確率、気候のトレンドやステップチェンジに対する氷河の感度など、応答の重要な指標の解析的な解を提供します。3段階の方程式は  （6)ここでL′は所定の平均状態から離れた長さの摂動であり，τ g = -H/b項はもともとJòhannessonら（1989）によって提案された氷河応答タイムスケールであり，ここでHは平均厚さであり，b項は氷河末端での（負の）正味質量収支であり，両方とも平均状態である；そしてεは定数（ ）である．氷河の形状はまた、β=A tot /(wH)を決定し、ここでA totは氷河の総面積であり、wは氷河末端の特徴的な谷幅である。Roe and Baker (2014)のように、我々の標準的な制御氷河については、τ g = 6.74a、β = 178 (単位なし)とする。 式(6)は、Roe and Baker (2014)で述べられている氷河調整の３段階を反映しています：質量バランスの変化は、まず厚さの変化を引き起こし、次に末端の氷流束の変化を引き起こし、最後に長さの変化を引き起こします。これらの3つの段階は、マスバランスの変化の空間的なパターンに強く、氷河の高周波応答に本質的なものです。Roe and Baker (2014)はさらに、式(6)がΔt = 1aの時間ステップで離散方程式としても書けることを示しました。この離散方程式は、冬と夏の季節のように離散的に来る実際の質量バランスの性質とより密接に一致している。Roe and Baker (2014)は、ホワイトノイズ強制の場合、離散3段モデルの長さの分散( )は、次のようになることを示しました。  (7)ここで、κ = (1 - (Δt/ετ g))。ετ g ≫ Δt としての極限では、これは次のように単純化される。  (8)σ b = 1 m a-1 の場合、(7)式はσ L = 284 m を予測し、数値流線モデルの出力であるσ L = 285 m とよく一致する。数値モデルと３段モデルの長さ変動の時系列は本質的に一致しており（図３の灰色線と黒線）、３段モデルが氷の流れを非常に効果的に再現していることが確認できました。  図3. 異なった気候の持続性によって引き起こされた氷河長の変動。(a) 5つの気候の時系列の氷河長偏差の2カイアのタイムスライス図。太い曲線は数値流線モデルの出力、細い曲線はRoe and Baker (2014)の線形3段モデルから計算したもの。わかりやすくするために、時系列を 1000m ずつずらしている。(b) 氷河応答の自己相関関数。図2と比較してx軸スケールが拡大されており、ホワイトノイズとAR1曲線がほぼ重なっていることに注目してください。(c) 氷河応答のパワースペクトル（窓付きピリオドグラム）。太い曲線は数値流線モデル、細い曲線はRoe and Baker (2014)の3段モデルの理論曲線である。 R をマスバランス強制の有無にかかわらず氷河の分散の比とする. 付録では, 3 段階モデルの式を導出している. AR(1)過程に基づく永続性については, 次のような式が得られる.  (9)ετ g ≫ τ c の極限では、これは次のように単純化される。  (10)力法則過程に基づく持続性については、我々は発見する。  (11)これらの式を用いて、氷河長の標準偏差を算出することができます。  (12)ここで、σ L| wnはホワイトノイズ強制に対する応答であり、式(7)または(8)で表される。(9)式と(11)式は広い範囲のパラメータで効率的な計算を可能にします。 AR(1)過程で生成されたマスバランス時系列を r = 0.17 と 0.28 とした場合、数値フローラインモデルはそれぞれ σ L = 336 と 377 m で応答する。これらはホワイトノイズ強制の場合と比較して18%と32%の増加であり、式(9)はそれぞれ17%と31%と良好な一致を示した。数値モデルと3段モデルの長さの時系列を図3aに示しますが、rの増加に伴う長さのばらつきの増加は、特に隣接する極大値と極小値に注目すれば、目で見ることができます。さらに、3段モデルは数値流線モデルを非常によく再現していることがわかります。ACF（図3b）はホワイトノイズの場合と非常によく似ていますが、スペクトルは低周波でのパワーの増強を示しています（図3c）。1/100 a-1以下の周波数では、氷河のダイナミクスが応答を減衰させることはなく、氷河は気候強制力とほぼ平衡状態で存在しています（例：Roe and Baker, 2014）。 ν=0.25と0.4のパワーロー過程によって生成されたマスバランス時系列に対して、数値流線モデルはそれぞれσ L=399と489 mで応答した。これらは、ホワイトノイズ強制の場合のσ Lよりも40%と72%増加しており、式(11)は、それぞれ43%と79%の予測と良い一致を示しています。分散の増加は図3aの時系列を見れば一目瞭然で、3段モデルは再び数値フローラインモデルの挙動を正確に再現しています。AR(1)の場合とは対照的に、パワーロー気候のACF(図3b)では、大きなラグでの余計な持続性が明確に示されている。これらのACFと分散の増加の大きさは、パワーが低周波に向かって増加し続けていることを示すスペクトル(図3c)と一致している。 Reichertら(2002)は、ノルウェーのNigardsbreenの質量バランスの気候モデルシミュレーションにAR(3)プロセスを適合させ、36%のσLの増加を生成しました。しかし、AR(p)モデルが異なることや氷河の形状が異なることから、我々の結果を直接比較することは困難です。 我々は、観測記録では検出しにくい程度の小さな残留性を意図的に導入しており、我々の分析では、我々が選択した氷河のパラメータに対して、それがσLを17～79％増加させることを示しています。 3.1. 3.1. 永続性がエクスカーション確率に与える影響 永続性の影響 過去の氷河の長さの変動を理解する上で、持続性がどの程度重要であるかを示す実用的な尺度は、氷河がある大きさの変動を受ける確率に与える影響である。Roe and Baker (2014)は、３段階モデルを用いることで、氷河の周遊確率を正確に推定できることを示しました。ここでは、その分析を拡張して、持続性を考慮に入れています。(1)Lのエクスカーション振幅は正規分布であり，(2)この分布は，.L0の分布とは独立であるという仮定の下では，L0が平衡位置を越えて進むと予想される戻り時間は，次式で与えられる．  (13)図3の曲線はR(L 0)を計算するのに必要なすべてを与えてくれます。図4aは、ゼロを超えた前進(すなわち平衡)の期待される帰還時間は、ホワイトノイズ強制の場合は42 aであり、ν = 0.4の場合は58 aまで持続性とともにわずかに増加することを示しています。しかし、式(13)はσLに対して指数関数的な感度を持っているため、大きな前進の戻り時間は劇的に減少します。例えば、我々のコントロール氷河では、1kmの前進は、ホワイトノイズでは平均20 kaに1回ですが、ν=0.4では400 aに1回と予想されます（図4a）。  図4. (a) 制御氷河のパラメータについて、式(13)から計算した、気候の持続性の関数としての、所定の前進の戻り時間。対数y軸に注意。(b) 気候の持続性の関数としてのエクスカージョン確率。これは、気候が一定の１ｋＡの期間において、与えられた総エクスカーション（最大値から最小値を引いた値）を超える確率を示しています。曲線は、コントロール氷河のパラメータについて、式(14)から計算されています。小さな程度の持続性があるだけでも、ある遠足が見られる可能性は劇的に高まります。 もう一つの関連する指標は、与えられた期間（例えば１ｋＡ）の間に、与えられた総延長（最大-最小の範囲）の確率です。これは、例えば、あるモレーンが単に内部の気候変動のために堆積したのか、それともモレーンが気候変動を必要としたのかを評価するのに役立ちます。このような計算は、モレーンの記録から過去の気候変動の推定値を修正するためにも使用できる。モレーンは変動する氷河の長さの極点を表しており、ある期間の平均的な気候に関連した終点の位置は、やや高地にある可能性が高いことを認識している(Anderson and others, 2014; Rowan and others, 2014)。 Roe (2011)は、極値統計の標準的な結果（例えば、Vanmarcke, 1983）を用いて、極値の戻り時間がポアソン分布に従うと仮定して、氷河が最大総遠征量ΔLを超える確率を算出した。  (14)図4bは、図4aに示された帰還時間から計算された、任意の1 kaの期間に与えられた総エクスカーションを超える確率を示しています。永続性を含めると劇的な影響があります。例えば、2kmの遠足がホワイトノイズの場合は1%の確率しかありませんが、ν=0.4の場合は98%の確率で発生します。これらの結果は、我々が用いた持続性の程度がマスバランスの記録では検出しにくいことを考えると、ある地形上の特定のモレーンが気候変動を必要としたかどうかを評価する上で、深刻な複雑さを表しています：つまり、統計的推論は、いくつかの制約の少ない仮定に鋭敏に反応します。 我々は、ポアソン分布が独立して発生する事象を支配していること、そして、これは、氷河の総移動（すなわち、最大値と最小値の両方）に適用され、気候的持続性が含まれている場合には、近似的なものに過ぎないことに注意している。他の解析（図示せず）では、ポアソン分布はν<0.5の場合、1kaの期間ではよく保たれていることがわかりましたが、より短い期間では注意が必要です。ポアソン分布の有効性は、氷河の応答時間と気候の持続性に依存する。この3段階モデルは十分に単純であり，モンテカルロ法を用いてその妥当性を確認することが可能である． 3.2. 広い範囲のパラメータ これまでのところ、我々は標準的な氷河パラメータのセットを使用し、持続性のみを変化させてきた。図5aとbは、式(7), (9), (11)を用いて、σLが氷河のタイムスケール、τg、rまたはνの関数としてどのように変化するかを示している。  図5. 氷河応答の標準偏差σ L (m)の等値線図。(a) AR(1)の持続性、r。これらの計算では、βとσbの値は一定に保たれている τgの増加はσLを増加させる（すなわち、式8）。氷河の応答時間が長くなるということは、与えられたL′（例えば、式6）に対して復元傾向が弱くなることを意味し、従って、氷河は確率的な強制力に反応してより大きくより長いエクスカーションを受けることになります。持続性の影響はτgとともに大きくなり，AR(1)持続性(式10)よりもパワーロー持続性(式11)の方が大きい．その理由は、τgが大きい氷河はτgが小さい氷河よりも低周波カットオフのローパスフィルターと考えることができるからです。したがって、τ g ~ 7 aのコントロール氷河では、ν = 0からν = 0.4への変化はσ Lに2倍以下の影響を与えますが、τ g ~ 50 aでは3倍近くの影響を与えます（図5b）。最後に、より大きなν値での強い感度は、σ Lのsecant (νπ/2)への依存性(すなわち、式11)のためであることに注意してください。 また、βとσ bは定数を保持しています。式(7)から、σ Lはそれぞれ線形に比例していることがわかり、図5の等高線を読み取ることで、他の氷河にも簡単に適用できます。また、τgとβは氷河の厚さHを介して関係していることにも注意が必要である(式(6)の後の第3節の議論を参照のこと)。 4. まとめと考察 氷河の質量バランスの観測記録は短いため、それに関連する気候の持続性の程度を立証することは困難である。一般的に、観測データは、持続性がないという帰無仮説（ホワイトノイズ）を棄却できないほど短いのです。しかし、他の観測データや、気候の持続性の程度が実際に存在すると確信できる理論的根拠があります。私たちは、気候の持続性が氷河の長さの変動に与える影響を調査しました。2つの異なる統計モデルを用いて、観測記録では検出しにくい程度の持続性であっても、持続性がない場合に比べて氷河長の変動の大きさが有意に大きくなることを発見しました。この影響は、遠足の確率に与える影響を考えると、さらに重要になります。極端な遠足の場合、持続性は、「例外的にあり得ない」事象（1％未満）を「事実上確実な」事象（99％以上、IPCC(2013)の定義と図4bからの若干の外挿を用いた場合）に変えることができます。 我々の結果は、氷河の長さの記録から過去の気候変動を特定するという他の課題と複雑に絡み合っている。もし、内部の気候変動が氷河長の確率的な変動をもたらすことを受け入れるならば、氷河長の記録から過去の気候変動を特定することは、その事実上、シグナル・ツー・ノイズ検出の練習になります。このような作業は、氷河の「ノイズ」が何であるかについての我々の物理的モデルに依存しています。ほとんどの氷河では、観測された質量バランスの変動は２分の１以内には収束していない（第2.1節）。気象データからマスバランスをモデル化する方法は、不確実なパラメータに依存しており、どのような場合でも、直接観測されたものに対してしか校正・評価することができません。モレーンの記録は本質的に断片的であるため、モデルを用いて内部気候変動に対する氷河の応答を推定しなければならない。原則として、Roe and Baker (2014)の3段階モデルのような解析ツールは、強制的な気候変動と非強制的な気候変動の相対的な重要性についての直感を構築するための効率的な手段となります。多くのパラメータは正確に観測されているが、氷河の厚さHのようないくつかの重要なパラメータは、まだ十分に拘束されていない。方法論は改善されつつあるが、Huss and Farinotti (2012)は標準誤差が30%程度であると報告している。より包括的な数値モデルは、不確かなレオロジーや亜氷河水文の粗いパラメータ化に依存しているため、明らかに精度が高いとは言えません。本研究では、氷河長変動の大きさに大きな影響を与えることができることを実証しながら、氷河質量バランスのための持続性が十分に拘束されていないことを指摘することで、このような不満の種を追加しました。もちろん、更新世の氷河期が気候変動を構成し、モレーンの記録にその痕跡を残したことは疑いの余地がないが、この結論はモデリングの不確実性を一切排除している（例えば、Anderson and others, 2014; Rowan and others, 2014）。しかし、気候変動がより限定的なものであるかもしれない完新世のモレーンの解釈は、あまり明確ではない。仮説的な小氷期のような事象は、内部の気候変動のノイズと比較して目立たないかもしれない（Matthews and Briffa, 2005など）。 何をすべきか？この研究では、個々の氷河の変動の大きさにのみ焦点を当て、既存の観測では、内部気候変動による変動の大きさの不確実性の最小値は2～3分の1であることを明らかにしました（少なくとも、観測記録が十分に長くなり、σbをより良く拘束できるようになるまでは）。しかし、氷河の歴史を解釈する際には、他の情報を利用することも可能である。特に、同時期の氷河の長さの変動の空間的な広がりや時間的な持続時間は、気候変動仮説の独立したテストになる。言い換えれば、氷河長の変動は無関係であるという帰無仮説に基づいて、氷河長の変動の持続時間や空間的な一貫性は驚くべきものなのでしょうか？気候と氷河の変動の空間的・時間的な相関関係を評価するための統計的手法は存在する（例えば、Bretherton and others, 1999）。そのようなツールはまだ氷河記録の解釈には適用されておらず、重要な注意点は、空間的なコヒーレンスが時間スケールによって異なるということである（例えば、Deser and others, 2010; Meehl and others, 2013）。しかし、いくつかの原則を示すことは可能である。個々の山脈内での氷河長の変動は、それらが本質的に同じ気候を経験しているため、気候変動の独立した記録とはならないため、非常に一貫性のあるものとなる（例：Huybers and Roe, 2009）。観測や理論は、気候の持続性の程度が大陸よりも海洋の方が大きいことを示唆している（例：Pelletier, 1997; Huybers and Curry, 2006）。より大きな空間スケールとより長い時間スケールでは、地質学的観測の解釈は、モレーンの年代測定が可能な精度に決定的に依存しており、何が達成可能かについては、現在進行中の活発な議論が行われている（例えば、Davis and others, 2009及びその参照；Balco, 2009；Schaefer and others, 2009；Kirkbride and Winkler, 2012；Schimmelpennig and others, 2012；Solomina and others, 2015）。 我々は、Reichertら(2002)に倣って、気候変動に持続性を含めることにした。このような持続性は、それ自体が気候変動を意味するのだろうか。AR(1)の持続性の場合、タイムスケールが短すぎて、例えば海洋混合層の積分効果のみを反映しているため、答えは強調的なノーである。パワーロー持続の場合は、答えはもう少しニュアンスのあるものになります。パワーロー変動は、外部からの強制力の変化や気候システムのダイナミクスの変化を必要としないという意味では、一定の気候である。しかし、変動は低い周波数まで増加し続け、最終的には、外部からの強制力への応答であることが最も明らかなスペクトルの一部に統合されます（例：Huybers and Curry, 2006）。気候変動の背景スペクトルが連続体であるという事実は、何が気候の「変化」を構成するかは、常に多少恣意的な定義に依存していることを意味している。 関連する問題は、気候変動がそれ自体が平均状態の関数であるかどうかということである。もし気候変動が、主要な気候帯に大きな変化があるほど大きなものであれば、何らかのレベルで、特にそのような気候帯の周辺部で、局所的な変動に変化があるはずである。しかし、前世紀の比較的小さな気候変動（全球平均で1K程度）では、変動の変化（すなわち、統計分布の2次モーメントと高次モーメント）が、平均（すなわち、1次モーメント）の変化と同じくらい大きな影響を与えたと期待する理論的根拠はない。これは、オブザベーションやモデル（例えば、Simolo and others, 2011; Donat and Alexander, 2012; Rhines and Huybers, 2013）で大きく裏付けられています。したがって、過去数千年の大規模な気候変動については、変動の変化の可能性を念頭に置いておく価値があるが、現代の変動の観測記録は、過去の気候における変動の影響についての直観を構築するための良い基盤を提供している。 気候の内部変動の振幅と性質は、気候科学における最も重要な課題の一つである。この変動は、将来の気候の予測可能性（例えば、Hawkins and Sutton, 2009; Deser and others 2012）や、過去の変動の解釈や統計的有意性に影響を与えるものであり、ここではその一例を紹介する。我々は氷河に焦点を当ててきたが、気候の持続性がすべての古気候プロキシ ーの応答に与える影響を評価することは重要である。現在、古気候プロキシから推定される気候の持続性と、包括的な気候モデルから生成される気候の持続性との間にはミスマッチが存在しており、これはプロキシの記録やモデルの問題、あるいはその両方を反映している可能性がある(Laepple and Huybers, 2014)。その分解能がどのようなものになるのかは、今後の課題である。 付録 気候変動がグラシエ長さの標準偏差に及ぼす影響 三段氷河モデル方程式の連続形式は  (Ａ1)3段階モデルの離散版(例えば Roe and Baker, 2014)は、流線数値モデル(および自然界)とより密接に類似している。しかし、解析的なトラクタビリティのために、ここでは連続方程式を用い、また、0からf 0ではなく、0から∞までのパワースペクトルを積分することで氷河の分散を導出しています。 この近似は、連続方程式が高周波数（f ≫ 1/τ g）で離散方程式と最も異なるので、正当化されています。これらの周波数は氷河のダイナミクスによって強く減衰されるため, 離散方程式との差は最小化される. また, 永続性の有無による分散の比を求めたところ, これらの比は数値流線モデルや離散3段モデルの比とよく一致している. 式(A1)は線形方程式なので、フーリエ変換解を求めることができます。  (A2) (A3) 式(A1)に代入すると  (A4) 次に、式(A4)とその複素共役の積をとる。定義とともに  ; これは与える。 (A5)これは、任意のP b(f)に適用される一般的な式である。 まず、連続的なAR(1)過程に対して  (A6)(例：Box and others, 2008)。我々は次のようにP 0を決定する: 白色ノイズについては  ここで f 0 = 1/2Δt. 離散 AR(1) のパワースペクトル Eqn (2) では、低周波応答は . 最後に、一般的な離散AR(1)過程では、ホワイトノイズと比較して、分散は1/(1 - r 2)のファクターで強化されます(例：Box and others, 2008)。そこで、合成気候時系列の分散が持続性に依存しないことを確認するために、この係数で割って、次のように与えます。  (A7)式(A6)と(A7)を式(A5)に代入して、分散を計算するために積分することができます。標準的な積分表から求められる解析解があることがわかりました。ある程度の操作をした後に  (A8)最後に、永続性の有無にかかわらず、分散の比率を定義することができます。  (9)あるいは、ετ g ≫ τ c の限界では、これは単純になります。  (A10)パワー・ロー・スペクトルについては、次のようになります。  (A11」)を設定します。  式(A5)に代入すると  (A13」)これは再び分析的な解を持っていることが判明し、次のように減らすことができます。  (A13)したがって，分散の比 R ν は次のように書くことができます．  (A14)参照文献 References Anderson, LS, Roe, GH and Anderson, RS (2014) The effects of interannual climate variability on paleoclimate estimates derived from glacial moraines. 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